Новые алгебраические числа

 

 

I

  • Дано числовое поле   F , не эквивалентное действительному x:

Q(F)≠ Q(x) и дано число   f  в нем

                    Q(F)                                   Q(x)

                            f1+4k              (=)                   1           k=0, 1, 2, 3 . . .

                            f2+4k                =                   -1                                        ( 10 )

                            f3+4k              (=)                  -1

                            f4+4k                =                    1

Я назвал это число фантомом от англ. призрак (число-невидимка)

Знак (=) условным равенством, что означает в данном случае, что 

в ход пошли нерациональные математические построения и орфо-

графия, которая определяет поле (подполе). Само собой, возникает

  понятие нового поля комплексных чисел   F - x

2) При тех же условиях, что и выше, числовое поле  Fi , не эквивалент-

  ное полю чисел z:  Q(Fi)≠Q(z)  и число   fi

                     Q(Fi)                                    Q(z)

                                                    ( 20 )

                                   

Поле комплексных чисел   Q(Fi – z)

   3)Появляются новые комплексные числа, я назвал их V- числами. Их де-

сять:  

       v1 = a       +cf                                                      v2=a                   +dfi

       v3 = a       +cf+dfi                                               v4=a +bi + cf

      v5 =a + bi        +dfi                                             v6 =a + bi + cf + dfi 

      v7 =      bi + cf +dfi                                             v8 =      bi + cf      

      v9 =      bi        +dfi                                              v10 =              cf + dfi

Количество тут рассчитывается по формуле  2n -1, где  n- кол. 

элементарных чисел. Эта формула верна для всех известных случаев

Итак, чисел элементарных четыре, плюс комплекс z, плюс десять 

комплексов v- итого пятнадцать. Очевидно, что комплекс  z  является

частным случаем комплексного числа  . Отсюда просходит разделение:

на ортодоксальную теорию  z- функций и новую теорию v- функций.

Ясно, что имеется тождественность функций по модулю и аргументу.

Отсюда возникают понятия о тождественных преобразованиях и

первые аксиомы поля:

             f 0 = 0            ( 30 )                                         fi 0 = 0              ( 40 )

Допускаются все шесть действий алгебры, а также коммутативные,

ассоциативные и дистрибутивный законы.

II

Полезность

Мы посмотрим полином P(x) -основное уравнение алгебры, а именно

подмножество П(x) = 0, т.е. такое, в котором обязательно фигурирует

фантом.  

     Пример 1

Дано ур-ние по основанию v1:

                                                                    Q(F-x)

(x+f)=x5+5x4f+10x3f2+10x2f3+5xf4+f5 =        .      x5+5x4f-10x3-10x2 f+5x+f (=)

       Q(x)

(=)           x5+5x4-10x3-10x2+5x+1=0

Корни алгебраические:

Данное можно определить как ур-ние с треугольником Паскаля от

основания (x+1)5 , а знакообразование от основания (x+i)5            ( 50 )

От этих рассуждений переходим к тождественным построениям.

В самом деле

              x5-10x3+5x=R5 cos5j    ;                  5x4-10x2+1=R5 sin5j 

и, таким образом      (x+f)5 (=)Q(x) R5 (cos5j+sin5j). В нашем случае

R5 (cos5j + sin5j) = 0 ,  откуда   cos5j = -sin5j   и далее

   xk = ctg [135 +π (k-1)]/n     и угловая мера корней:

   x1-5  = 270, 630, 990, 1350, 1710

Я назвал этот и ему подобные возвратно-фантомными с треугольником

Паскаля равным  нулю:  П(х) = 0. Приводится формула общего случая

для v1 :      (ax + cf)n  =   Q(x)   П(х) = 0

                                x= c/a ctg[1350 +π(k-1)]/n                                       (1.1)

Здесь можно положить окружность единичного радиуса,как график

функции. Тогда каждый корень выразится своей угловой мерой через

радиус-вектор, причем будет работать формула   jk=j1+Δ(k-1)          ( 60 )

т.е. каждый последующий угол равен предыдущему плюс некоторое

Δ = const. Такую конструкцию имел и Муавр в своем ур-нии    xn-1=0

Я назвал такую симметричной радиус-векторной решеткой. Отметим,

что все корни уравнения действительны.                                          

    Пример 2

Дано ур-ние по основанию v2 :

(х+fi)5 = x5+5x4 fi+10x3 (fi)2+10x2 (fi)3+5x (fi)4+(fi)5   (=)   

     (=)  Q(Fi-z)  x5+5x4 i+10x3+10x2 i+5x+I = 0

Корни алгебраические:

Данное определим,как ур-ние с треугольником Паскаля по основанию

(x+i)5  , а знакообразование от основания (x+1)5                             ( 70 )

Положим    i=c,  тогда придем к ур-нию  (x+cf)5  откуда

хk = i ctg[1350+π(k-1)]/n    и общий случай   (ах+dfi)n (=) Q(z)  0

                      xk = di/a ctg [1350+π(k-1)]/n                                               (1.2)

Корни:   x1-5 = i ctg270   и т. д.

Заметим, что и здесь симметричная радиус-векторная решетка, но

все корни мнимы.Анализ формул (1.1-1.2) по пределу

                    lim jk=(1-n) = [1350+π(k-1)]/n = (0 ÷ π)                                    ( 80 )

позволяет заключить,  что решетка расположена в двух четвертях

окружности единичного радиуса.

           Пример 3

Дано ур-ние по основанию v4 :

(x+i+f)5 =[(x+i)+f]5 (=)Q(z) x5+5x4 (i+1)-20x3 (i-1)-40x2 (i-1)-40x (i-1)+16(i+1) = 0

Корни алгебраические:

Как видно, треугольника Паскаля тут уже нет. Примем x+i = y,

тогда данное приводится к виду    (y+f)5 (=) Q(z)… 0. И корни :

x1-5 = ctg 270 – i   и т. д.

         Пример 4

Дано ур-ние по основанию v5 :

(x+i+fi)5 (=) Q(z)  x5 +10x4 I -20x3 -20x -8i = 0

Корни алгебраические :

         Покажем для начала как оно вычислено

         (x+i+fi)5 = [(x+i)+fi]5 (=)Q(z)(x+i)5 + 5i(x+i)4 + 10(x+i)3 + 10i(x+i)2 + 5(x+i) +i =…

         Примем  x+i = y ,    тогда      (y+fi)5        и т. д.

         Корни x1-5 = i ctg 270 – i = i ctg (270 -1)   и т. д.

        Приводим примерные измерения корней и радиус-векторную решетку:

                   х1 ≈0,9626i                          ≈     ctg 46,0910               

    х2 ≈-0,4904i                         ≈           116,127 0          Δ2-1≈70,0360

          х3 -1,1584i                         ≈          139,1050            Δ3-2≈23,070

         х4 =-2i                                    ≈          153,4350            Δ4-3≈14,240

         х5 ≈-7,3137i                          ≈          172,2140             Δ5-4≈18,780                    

Решетка тут является несимметричной.

      Пример 5

В предыдущих примерах была дана функция v  , потому и были вычи-

слены корни. Тут обратная задача  - по коэффициентам данного

вычислить корни алгебраические.

    Дано   П(x)  = 0.

x5 +5x4 (4+6i) – 60x3 + 10x2 (196-76i)  +5x(636+800i) – 2096 – 2104i = 0

Корни алгебраические : 

1) Треугольник Паскаля   (x+v6)5 (=) П(х). Всегда пускаем в ход

функцию v6  и св. 10, 20.

    2) Измерение С2/ :

5x4 v6 (=)Q(x)  5x4 (z1+z2) = 5x4 (4+6i)               z1+z2 = 4+ 6i

         3) Измерение С3/ :

v62 =(z1+z2) – 2z22 = 16+48i – 36 -2z22 = - 6        z22 = -7 + 24i =

= 25( cos106,260 + i sin106,260 ) z2-1,2=5(cos53,130 + i sin53,130 ) =

±(3+4i)

z1-1,2= 4 + 6i – z2-1,2 = 4 +6i ± (3+4i) = 1+2i    ;        7+10i

Из последнего четыре версии функции v:

V1=z1-1+z2-1= 1+2i+3+4i=4+6i                   V2=z1-1+z2-2=1+2i-3-4i  ≠ 4+6i

V3=z1-2+z2-2=7+10i-3-4i=4+6i                    V4=z1-2+z2-1=7+!0i+3+4i ≠ 4+6i

 

Укажем сразу истинную версию функции     v0 = 1+2i+3f+4dfi. 

Поскольку функции V1 , V3  сопряжены с С2/, С3/ , постольку истинную функцию   v0  можно установить только при измерении С4/           ( 90 )

Корни:

Подстановка      x+1+2i = y           3+4i = z    т.е.       (y+fz)5 (=) 0  

                    y1=zctg270= (3+4i)ctg270        

 

      X1 = (3+4i) ctg 270 – 1 – 2i                       ≈      4,8878+5,8504i

      X2 = (3+4i) ctg 630  - 1 -  2i                       ≈      0,5285+0,0381i

           X3 =(3 +4i) ctg 990 – 1 – 2i                        ≈     -1,4751-2,6395i 

           X4 = (3+4i) ctg 1350 – 1 – 2i                      =    -4-6i  

           X5 = (3+4i) ctg 1710 – 1 – 2i                       ≈   -19,9412-27,255i  

             Лемма

     Пусть дан полином П(x) = 0 степени n. Если x+v = x+a+bi+cf+dfi, то

                           xkQ(z) = (c+di) ctg [ π(k-0,25)]/n – a – bi                            ( 100 )

    

    Анализ леммы показывает, что все четыре числа являются алгебраи-

    ческими , необходимыми и незаменимыми. Из последнего второе

    кол. корней :

          x6  = x1 + v0 =(3+4i)ctg270-1-2i + 1+2i +3f + 4fi = (3+4i) (ctg270 +f)

          . . . . . . . .

          x10 = x5 + v0 = (3+4i) (ctg1710 + f) 

                                      

                                           Послесловие                  

1. Этот фрагмент является первым, представляющим новую алгебраичес-

кую теорию – теорию V функций.

2.   У этих чисел есть своя история. Одним из упомянутых, кто усомнился

В достаточности двух чисел, был Лейбниц (17в.). Он полагал, что

операция извлечения корня из числа Z=a+bi порождает новые катего-

рии мнимых.(Хрестоматия по истории математики. Москва. Просвеще

ние .1976г. стр.88)ю Позднее было объявлено, что Лейбниц допустил

«случайный недосмотр», однако прав был :

            Z1/n (=)Q(v) R1/n(cosj/n+isinj/n)(cos2π/n+fsin2π/n)      v6

    Новая категория мнимых, то же можно и с действительным числом.

 

3. Следующим был Гаусс. Предметом его докторской диссертации было

основное уравнение алгебры (1799г. стр.95, там же) Он высказал 

мысль о том, что полином P(х) можно разбить на ряда классифициро

ванных  подмножеств и каждое такое должно разрешаться при помо-

щи особых алгебраических чисел изоморфных и даже не изоморфных.

Я назвал эту мысль моделью Гаусса :

                                                         (110 )

                                             

                 4. В 19 веке два немецких математика К. Вейерштрасс и Ф. Фробениус 

                      продолжили тему и установили, что любая числовая система над 

                       полем действительных чисел, в которой законы операций те же,

         что и для рациональных  чисел, совпадает с полем действительных, 

          либо с полем чисел Z ( там же,  стр.93). Знака совпадения в алгебре            

          нет, поэтому придумано условное равенство, введена орфография –

          символ поля. Из краткого толкования теоремы «с одной стороны…

с другой стороны…» следует, что объект изложен дуально. Особо это

очевидно, если пустить в ход разложение в линейные множители :

          П(х)=(x-x1)(x-x2)…(x-x5) (=) Q(v)(x1+v)5 =(x2+v)5=…=(x5+v)5

Из разложения в Q(v)  по теореме В-Ф следует :

    [(x1+v)5 ]1/5 = [(x2+v)5 ]1/5        x1+v = x2+ v   (!)

       (!) Сократить тут подобные члены нельзя – абсурд :  х≠ х2. Остается   

        одно : 

                                                                                                   (120 )                                                                                                                                                                                                   

       неопределенность = неопределенности.  И окончательно  :

                                       f  (=)  Q(x)   1   =                                                                  (130 )

                                       fi (=) Q(i)     i  =  i                                                                (140)    

       Числа дуальные алгебраические нерациональные, никакого векторно-

       числового измерения.                          

  5. Из св. 90 следует, что любой кв. трехчлен имеет не менее шести корней-

       - два из множества Z  и четыре из множества V чисел. Каждый может их

      найти, руководствуясь примером 5.

 6. Единственным надполем на сегодняшний день следует считать поле

     чисел v6 - [Q(v6 )]. Все остальные подполями :   g(x),    g(z)     и т. д.      (150 )

                      

 

 

Смирнов Валерий

                                        

 



Если вы незарегистрированный пользователь, ваш коммент уйдет на премодерацию и будет опубликован только после одобрения редактром.

Комментировать

CAPTCHA
Защита от спама
3 + 3 =
Решите эту простую математическую задачу и введите результат. Например, для 1+3, введите 4.