Новые алгебраические числа

 

 

I

• Дано числовое поле   F , не эквивалентное действительному x:

Q(F)≠ Q(x) и дано число   f  в нем

                    Q(F)                                   Q(x)

                            f^1+4k              (=)                   1           ^{k=0, 1, 2, 3 . . .}

                            f^2+4k                =                   -1                                        ( 1⁰ )

                            f^3+4k              (=)                  -1

                            f^4+4k                =                    1

Я назвал это число фантомом от англ. призрак (число-невидимка)

Знак (=) условным равенством, что означает в данном случае, что 

в ход пошли нерациональные математические построения и орфо-

графия, которая определяет поле (подполе). Само собой, возникает

  понятие нового поля комплексных чисел   F - x

2) При тех же условиях, что и выше, числовое поле  Fi , не эквивалент-

  ное полю чисел z:  Q(Fi)≠Q(z)  и число   fi

                     Q(Fi)                                    Q(z)

                                                    ( 2⁰ )

                                   

Поле комплексных чисел   Q(Fi – z)

   3)Появляются новые комплексные числа, я назвал их V- числами. Их де-

сять:  

       v₁ = a       +cf                                                      v₂=a                   +dfi

       v₃ = a       +cf+dfi                                               v₄=a +bi + cf

      v₅ =a + bi        +dfi                                             v₆ =a + bi + cf + dfi 

      v₇ =      bi + cf +dfi                                             v₈ =      bi + cf      

      v₉ =      bi        +dfi                                              v₁₀ =              cf + dfi

Количество тут рассчитывается по формуле  2ⁿ -1, где  n- кол. 

элементарных чисел. Эта формула верна для всех известных случаев

Итак, чисел элементарных четыре, плюс комплекс z, плюс десять 

комплексов v- итого пятнадцать. Очевидно, что комплекс  z  является

частным случаем комплексного числа  . Отсюда просходит разделение:

на ортодоксальную теорию  z- функций и новую теорию v- функций.

Ясно, что имеется тождественность функций по модулю и аргументу.

Отсюда возникают понятия о тождественных преобразованиях и

первые аксиомы поля:

             f ∙ 0 = 0            ( 3⁰ )                                         fi ∙ 0 = 0              ( 4⁰ )

Допускаются все шесть действий алгебры, а также коммутативные,

ассоциативные и дистрибутивный законы.

II

Полезность

Мы посмотрим полином P_(x) -основное уравнение алгебры, а именно

подмножество П_(x) = 0, т.е. такое, в котором обязательно фигурирует

фантом.  

     Пример 1

Дано ур-ние по основанию v₁:

                                                                    Q(F-x)

(x+f)=x⁵+5x⁴f+10x³f²+10x²f³+5xf⁴+f⁵ =        .      x⁵+5x⁴f-10x³-10x² f+5x+f (=)

       Q(x)

(=)           x⁵+5x⁴-10x³-10x²+5x+1=0

Корни алгебраические:

Данное можно определить как ур-ние с треугольником Паскаля от

основания (x+1)⁵ , а знакообразование от основания (x+i)⁵            ( 5⁰ )

От этих рассуждений переходим к тождественным построениям.

В самом деле

              x⁵-10x³+5x=R⁵ cos5j    ;                  5x⁴-10x²+1=R⁵ sin5j 

и, таким образом      (x+f)⁵ (=)^Q(x) R⁵ (cos5j+sin5j). В нашем случае

R⁵ (cos5j + sin5j) = 0 ,  откуда   cos5j = -sin5j   и далее

   x_k = ctg [135⁰  +π (k-1)]/n     и угловая мера корней:

   x_1-5  = 27⁰, 63⁰, 99⁰, 135⁰, 171⁰

Я назвал этот и ему подобные возвратно-фантомными с треугольником

Паскаля равным  нулю:  П_(х) = 0. Приводится формула общего случая

для v₁ :      (ax + cf)ⁿ  =   ^Q(x)   П_(х) = 0

                                x_k  = c/a ctg[135⁰ +π(k-1)]/n                                       (1.1)

Здесь можно положить окружность единичного радиуса,как график

функции. Тогда каждый корень выразится своей угловой мерой через

радиус-вектор, причем будет работать формула   j_k=j₁+Δ(k-1)          ( 6⁰ )

т.е. каждый последующий угол равен предыдущему плюс некоторое

Δ = const. Такую конструкцию имел и Муавр в своем ур-нии    xⁿ-1=0

Я назвал такую симметричной радиус-векторной решеткой. Отметим,

что все корни уравнения действительны.                                          

    Пример 2

Дано ур-ние по основанию v₂ :

(х+fi)⁵ = x⁵+5x⁴ fi+10x³ (fi)²+10x² (fi)³+5x (fi)⁴+(fi)⁵   (=)   

     (=)  ^Q(Fi-z)  x⁵+5x⁴ i+10x³+10x² i+5x+I = 0

Корни алгебраические:

Данное определим,как ур-ние с треугольником Паскаля по основанию

(x+i)⁵  , а знакообразование от основания (x+1)⁵                             ( 7⁰ )

Положим    i=c,  тогда придем к ур-нию  (x+cf)⁵  откуда

х_k = i ctg[135⁰+π(k-1)]/n    и общий случай   (ах+dfi)ⁿ (=) ^Q(z) …  0

                      x_k = di/a ctg [135⁰+π(k-1)]/n                                               (1.2)

Корни:   x_1-5 = i ctg27⁰   и т. д.

Заметим, что и здесь симметричная радиус-векторная решетка, но

все корни мнимы.Анализ формул (1.1-1.2) по пределу

                    lim j_k=(1-n) = [135⁰+π(k-1)]/n = (0 ÷ π)                                    ( 8⁰ )

позволяет заключить,  что решетка расположена в двух четвертях

окружности единичного радиуса.

           Пример 3

Дано ур-ние по основанию v₄ :

(x+i+f)⁵ =[(x+i)+f]⁵ (=)^Q(z) x⁵+5x⁴ (i+1)-20x³ (i-1)-40x² (i-1)-40x (i-1)+16(i+1) = 0

Корни алгебраические:

Как видно, треугольника Паскаля тут уже нет. Примем x+i = y,

тогда данное приводится к виду    (y+f)⁵ (=) ^Q(z)… 0. И корни :

x_1-5 = ctg 27⁰ – i   и т. д.

         Пример 4

Дано ур-ние по основанию v₅ :

(x+i+fi)⁵ (=) ^Q(z)  x⁵ +10x⁴ I -20x³ -20x -8i = 0

Корни алгебраические :

         Покажем для начала как оно вычислено

         (x+i+fi)⁵ = [(x+i)+fi]⁵ (=)^Q(z)(x+i)⁵ + 5i(x+i)⁴ + 10(x+i)³ + 10i(x+i)² + 5(x+i) +i =…

         Примем  x+i = y ,    тогда      (y+fi)⁵        и т. д.

         Корни x_1-5 = i ctg 27⁰ – i = i ctg (27⁰ -1)   и т. д.

        Приводим примерные измерения корней и радиус-векторную решетку:

                   х₁ ≈0,9626i                          ≈     ctg 46,091⁰               

    х₂ ≈-0,4904i                         ≈           116,127 ⁰          Δ_2-1≈70,036⁰

          х₃ ≈-1,1584i                         ≈          139,105⁰            Δ_3-2≈23,07⁰

         х₄ =-2i                                    ≈          153,435⁰            Δ_4-3≈14,24⁰

         х₅ ≈-7,3137i                          ≈          172,214⁰             Δ_5-4≈18,78⁰                    

Решетка тут является несимметричной.

      Пример 5

В предыдущих примерах была дана функция v  , потому и были вычи-

слены корни. Тут обратная задача  - по коэффициентам данного

вычислить корни алгебраические.

    Дано   П_(x)  = 0.

x⁵ +5x⁴ (4+6i) – 60x³ + 10x² (196-76i)  +5x(636+800i) – 2096 – 2104i = 0

Корни алгебраические : 

1) Треугольник Паскаля   (x+v₆)⁵ (=) П_(х). Всегда пускаем в ход

функцию v₆  и св. 1⁰, 2⁰.

    2) Измерение С₂^/ :

5x⁴ v₆ (=)^Q(x)  5x⁴ (z₁+z₂) = 5x⁴ (4+6i)       →        z₁+z₂ = 4+ 6i

         3) Измерение С₃^/ :

v₆² =(z₁+z₂) – 2z₂² = 16+48i – 36 -2z₂² = - 6    →     z₂² = -7 + 24i =

= 25( cos106,26⁰ + i sin106,26⁰ ) →z_2-1,2=5(cos53,13⁰ + i sin53,13⁰ ) =

±(3+4i)

z_1-1,2= 4 + 6i – z_2-1,2 = 4 +6i ± (3+4i) = 1+2i    ;        7+10i

Из последнего четыре версии функции v:

V₁=z_1-1+z_2-1= 1+2i+3+4i=4+6i                   V₂=z_1-1+z_2-2=1+2i-3-4i  ≠ 4+6i

V₃=z_1-2+z_2-2=7+10i-3-4i=4+6i                    V₄=z_1-2+z_2-1=7+!0i+3+4i ≠ 4+6i

 

Укажем сразу истинную версию функции     v₀ = 1+2i+3f+4dfi. 

Поскольку функции V₁ , V₃  сопряжены с С₂^/, С₃^/ , постольку истинную функцию   v₀  можно установить только при измерении С₄^/           ( 9⁰ )

Корни:

Подстановка      x+1+2i = y           3+4i = z    т.е.       (y+fz)⁵ (=) 0   →

            →        y₁=zctg27⁰= (3+4i)ctg27⁰         →

 

      X₁ = (3+4i) ctg 27⁰ – 1 – 2i                       ≈      4,8878+5,8504i

      X₂ = (3+4i) ctg 63⁰  - 1 -  2i                       ≈      0,5285+0,0381i

           X₃ =(3 +4i) ctg 99⁰ – 1 – 2i                        ≈     -1,4751-2,6395i 

           X₄ = (3+4i) ctg 135⁰ – 1 – 2i                      =    -4-6i  

           X₅ = (3+4i) ctg 171⁰ – 1 – 2i                       ≈   -19,9412-27,255i  

             Лемма

     Пусть дан полином П_(x) = 0 степени n. Если x+v = x+a+bi+cf+dfi, то

                           x_k^Q(z) = (c+di) ctg [ π(k-0,25)]/n – a – bi                            ( 10⁰ )

    

    Анализ леммы показывает, что все четыре числа являются алгебраи-

    ческими , необходимыми и незаменимыми. Из последнего второе

    кол. корней :

          x₆  = x₁ + v₀ =(3+4i)ctg27⁰-1-2i + 1+2i +3f + 4fi = (3+4i) (ctg27⁰ +f)

          . . . . . . . .

          x₁₀ = x₅ + v₀ = (3+4i) (ctg171⁰ + f) 

                                      

                                           Послесловие                  

1. Этот фрагмент является первым, представляющим новую алгебраичес-

кую теорию – теорию V функций.

2.   У этих чисел есть своя история. Одним из упомянутых, кто усомнился

В достаточности двух чисел, был Лейбниц (17в.). Он полагал, что

операция извлечения корня из числа Z=a+bi порождает новые катего-

рии мнимых.(Хрестоматия по истории математики. Москва. Просвеще

ние .1976г. стр.88)ю Позднее было объявлено, что Лейбниц допустил

«случайный недосмотр», однако прав был :

            Z^1/n (=)^Q(v) R^1/n(cosj/n+isinj/n)(cos2π/n+fsin2π/n)    ≡  v₆

    Новая категория мнимых, то же можно и с действительным числом.

 

3. Следующим был Гаусс. Предметом его докторской диссертации было

основное уравнение алгебры (1799г. стр.95, там же) Он высказал 

мысль о том, что полином P_(х) можно разбить на ряда классифициро

ванных  подмножеств и каждое такое должно разрешаться при помо-

щи особых алгебраических чисел изоморфных и даже не изоморфных.

Я назвал эту мысль моделью Гаусса :

                                                         (11⁰ )

                                             

                 4. В 19 веке два немецких математика К. Вейерштрасс и Ф. Фробениус 

                      продолжили тему и установили, что любая числовая система над 

                       полем действительных чисел, в которой законы операций те же,

         что и для рациональных  чисел, совпадает с полем действительных, 

          либо с полем чисел Z ( там же,  стр.93). Знака совпадения в алгебре            

          нет, поэтому придумано условное равенство, введена орфография –

          символ поля. Из краткого толкования теоремы «с одной стороны…

с другой стороны…» следует, что объект изложен дуально. Особо это

очевидно, если пустить в ход разложение в линейные множители :

          П_(х)=(x-x₁)(x-x₂)…(x-x₅) (=) ^Q(v)(x₁+v)⁵ =(x₂+v)⁵=…=(x₅+v)⁵

Из разложения в Q(v)  по теореме В-Ф следует :

    [(x₁+v)⁵ ]^1/5 = [(x₂+v)⁵ ]^1/5    →    x₁+v = x₂+ v   (!)

       (!) Сократить тут подобные члены нельзя – абсурд :  х₁  ≠ х₂. Остается   

        одно : 

                                                                                                   (12⁰ )                                                                                                                                                                                                   

       неопределенность = неопределенности.  И окончательно  :

                                       f  (=)  ^Q(x)   1   =  ∾                                                                (13⁰ )

                                       fi (=) ^Q(i)     i  =  i∾                                                                (14⁰)    

       Числа дуальные алгебраические нерациональные, никакого векторно-

       числового измерения.                          

  5. Из св. 9⁰ следует, что любой кв. трехчлен имеет не менее шести корней-

       - два из множества Z  и четыре из множества V чисел. Каждый может их

      найти, руководствуясь примером 5.

 6. Единственным надполем на сегодняшний день следует считать поле

     чисел v₆ - [Q(v₆ )]. Все остальные подполями :   g_(x),    g_(z)     и т. д.      (15⁰ )

                      

 

 

Смирнов Валерий